Lise yıllarımda matematik dersinde oldukça iyi iken üniversite matematik derslerinde kendimi boşlukta hissediyordum. Bana göre problem derslerin aşırı derecede hızlı işlenmesi ve akademisyenlerin bazılarının ders anlatmaktan sıkılmış ve uzakta kalmış olmasıydı. Belki de bu dersleri anlatanlar bile anlamamış veya belki de onlar için sıkıcı derecede kolay gelmeye başlamıştı.
Bunun için önemli gördüğüm veya hoşuma giden meseleleri zaman da alsa kendim araştırmaya başladım. Bugün Thomas Calculus kitabını incelerken sandviç teoremini gördüm ve hakkında yazmaya karar verdim.
Çeşitli matematik sorunlarını çözerken bazı değerler fonksiyonu belirsiz hale getirir(∞/∞ ve 0/0). Bu durumdan kurtulmak için matematikçiler çeşitli çalışmalar yaparak bazı yöntemler bulmuşlardır. Sandviç teoremi de bazı belirsiz fonksiyon değerlerini bulabilmek için geliştirilmiştir.
Tanımlayacak olursak sandviç teoremi için bize 3 farklı fonksiyon gerekir. Bu fonksiyonlardan bir tanesine h(x) diyelim. Diğer iki fonksiyondan her zaman ya büyük ya da en fazla eşit olsun. Bir de g(x) fonksiyonumuz olsun. Bu g(x) fonksiyonu da diğer iki fonksiyondan ya küçük ya da en fazla eşit olsun. Üçüncü fonksiyonumuz da hali ile bu iki fonksiyonun arasında kalacak olup h(x)’ten küçük veya eşit, g(x)’ten büyük veya eşit olacaktır. İşte bu üçüncü fonksiyonumuzun yani f(x)’in belirsiz olduğu durumlarda g(x) ve h(x) fonksiyonlarını birbirine eşit ise ve bunlar belirsiz olmazlarsa aralarında kalan f(x) fonksiyonu da diğer iki fonksiyona eşit olmak zorunda kalacaktır. Sıkışmış olan bu fonksiyonun alabileceği başka bir değerden bahsedilemez. İşte bu yüzden bu teoreme sıkıştırma teoremi de denir.
Bu fazla teorik kalmış grafiği bir de gerçek bir örnek vererek somutlaştıralım:
Burada θ dediğimiz açı sıfıra giderken sinθ sıfıra gider. Eee zaten θ’da sıfıra yaklaşıyor. O zaman bu denklemde 0/0 belirsizliği oluşur. İşte bunu sandviç teoremi kullanarak şöyle çözüyorlar.
Şu çember üzerinden düşüneceğiz:
Burada iki tane üçgen görürüz. Birincisi kosinüs ve sinüs kenarlarından oluşan küçük bir üçgen, ikincisi tanjant ve birim çemberin yarıçapı olan “1”den oluşan büyük üçgendir. Çemberin yarıçapı 1 birim olduğu için birim çemberin toplam alanı π olur, her birim radyana denk gelen alanı bulmak için bu alanı 2π’ye böleriz ve θ açısı ile çaptığımızda bu iki üçgen arasındaki çember parçasının çember parçasının alanını θ/2 olarak hesaplarız. Diğerlerinin nasıl bulunduğunu kavrayamadıysanız birim çemberde trigonometrik ifadelerin hangi uzunlukları temsil ettiğine bakmalısınız. Bu alanlar üçgen alan formülü ile şu şekilde yazılır:
Bu formülü sinθ’ya bölüp iki ile çarpılınca aşağıdaki formül elde edilir:
Formüldeki bütün değerler 1/formül olarak yazılınca da aşağıdaki formül elde edilir. Dikkat edin pay ve paydalar yer değiştirdiğinde küçük ve eşit işaretleri büyük ve eşit işaretlerine dönüyor:
Şimdi sandviç teoremindeki g ve h fonksiyonlarını hatırlayalım. g fonksiyonu burada cosθ ile; h fonksiyonu 1/cosθ ile temsil edilmektedir. θ için her iki fonksiyona da sıfır değerini verdiğimizde şöyle bir denklem gelmektedir:
O halde belirsizliğimizin alabileceği tek değer 1’dir. İşte sandviç teoremi bu şekildeki belirsizliklerin bulunmasına yardımcı olmaktadır. Bu teorem temel matematik derslerinde hocalar tarafından sevilir ve vizelerde karşınıza gelir.